Có vô hạn con số và vô hạn cách kết hợp và thao túng các con số đó. Các nhà toán hoặc thường biểu diễn các con số theo một đường thẳng. Chọn một điểm trên đường thẳng này, điểm này tương ứng với một số. Nhưng, gần như tất cả các con số chúng ta sử dụng đều dựa trên một số con số vô cùng quan trọng, đóng vai trò nền tảng trong toán học. Sau đây là tám con số thiết yếu để thực hiện các phép tính số học.
0
Số 0 đại diện cho sự trống rỗng. 0 là một yếu tố cơ bản trong hệ thống số học. Chúng ta dùng số 0 trong các con số với nhiều hơn một chữ số. Số 0 cho chúng ta biết sự khác biệt giữa 2 nghìn đồng và 20 nghìn đồng. Số 0 được gọi là 'phần tử cộng', có nghĩa là nếu bạn cộng một số với 0, bạn được kết quả là chính số đó. VD: 3 + 0 = 3.
Tính chất này của số 0 là một thể trung tâm của số học và đại số học. Số 0 nằm ngay chính giữa đường thẳng số học, với số dương và số âm ở mỗi bên, và là điểm xuất phát trong việc thiết lập hệ thống số.
1
Nếu 0 là "phần tử cộng", 1 là "phần tử nhân". Lấy bất kì số nào và nhân với 1, bạn có kế quả là chính số đó. 5 * 1 bằng đúng 5. Chỉ cần dùng 1, chúng ta có thể bắt đầu thiết lập đường thẳng số học. Cụ thể, chúng ta có thể dùng 1 để có được các số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Chúng ta có thể tiếp tục cộng thêm 1 để tạo ra các con số khác: 2 là 1+1, 3 là 1+1+1, 4 là 1+1+1+1,... tới vô hạn.
Gần như tất cả các con số chúng ta sử dụng đều dựa trên 8 con số vô cùng quan trọng.
Các số tự nhiên là các con số cơ bản nhất. Chúng ta dùng số tự nhiên để đếm. Chúng ta cũng có thể thực hiện các phép tính số học với số tự nhiên: Nếu ta thêm hoặc nhân hai số tự nhiên bất kì với nhau, kết quả cũng là số tự nhiên.
Trong một số trường hợp, ta cũng có lấy hai số tự nhiên trừ cho nhau, hoặc chia cho nhau, và có kết quả là số tự nhiên. VD: 10-6=4 hay 12/4=3. Chỉ cần sử dụng số 0 và 1 cùng các phép toán số học cơ bản, chúng ta có thể giải rất nhiều bài toán với số tự nhiên.
-1
Không phải lúc nào đem hai số tự nhiên trừ cho nhau chúng ta cũng thu được một số tự nhiên khác. Nếu chỉ có các số đếm, ta sẽ không thể biểu đạt kết quả của phép toán 3-8. Một điều tuyệt vời về toán đó là, khi gặp phải một rào cản như này, chúng ta có thể mở rộng hệ thống số để loại bỏ rào cản đó. Để cho phép phép trừ như trên xảy ra, chúng ta thêm -1 vào đường thẳng số học.
-1 kéo theo tất cả các số nguyên âm khác, vì nhân một số dương với -1 tạo ra một "phiên bản số âm" của số đó: -3 là -1 x 3/ Bằng cách sử dụng thêm số âm, chúng ta đã giải quyết được vấn đề của phép trừ. 3 – 8 = -5. Tổ hợp các số dương, 0, và các số âm này chúng ta có tập số nguyên, và ta luôn có thể trừ hai số nguyên cho nhau và thu được kết quả là một số nguyên khác. Số nguyên là các điểm cố định trên đường thẳng số.
Các số âm rất hữu dụng trong việc thể hiện phần thiếu. Nếu tôi nợ ngân hàng 500 nghìn, tôi có thể hình dung số dư của mình là -500 nghìn. Chúng ta cũng có thể sử dụng số âm với các đo lường, khi giá trị nhỏ hơn 0 có thể xảy ra, ví dụ như nhiệt độ. Ví dụ, ở Sapa, nhiệt độ đã từng xuống -5oC.
1/10
Về phương diện số học, số nguyên vẫn chưa đủ. Chúng ta có thể cộng, trừ hoặc nhân hai số nguyên và thu về giá trị số nguyên, nhưng chúng ta không thể có kết quả tương tự trong mọi trường hợp chia hai số nguyên cho nhau. 8/5 là vô nghĩa nếu chúng ta chỉ sử dụng số nguyên.
Để giải quyết khúc mắc này, ta sử dụng 1/10, hay 0,1. Với 0,1 và các các luỹ thừa của 0,1 như 0,01; 0,001; 0,00001; v..v chúng ta có thể thể hiện các phân số và số thập phân. 8/5 = 1,6.
Chia bất kì hai số nguyên cho nhau (trừ chia cho 0) trả lại kết quả là một số thập phân. Nếu bốn người bạn chia đều một cái bánh thì mỗi người sẽ được ¼ hay 0,25 hoặc 25% chiếc bánh. Các số thập phân giúp giải thích khoảng trống giữa hai số nguyên trên đường thẳng số học.
Về phương diện số học, số nguyên vẫn chưa đủ.
√2
Căn bậc hai của một số là một số mà khi bình phương lên – khi nhân số đó với chính nó – trả lại con số gốc. Ví dụ, căn bậc hai của 9 là 3, vì 3 bình phương bằng 3 x 3 = 9. Chúng ta có thể tìm được căn bậc hai của bất kì số dương nào, chỉ với một số ngoại lệ rắc rối.
Căn bậc hai của 2 là một trong các ngoại lệ đó. Đây là một số vô tỉ, có nghĩa là phần thập phân không bao giờ kết thúc hay lặp lại. Căn bậc hai của 2 bắt đầu với các chữ số 1,41421356237... và các con số đằng sau không hề có quy luật nhất định nào cả.
Hoá ra rằng căn bậc hai của hầu hết các số hữu tỉ là các số vô tỉ. Ngoại trừ một số như số 9, được gọi là số chính phương. Số căn rất quan trọng trong đại số, vì chúng là lời giải cho nhiều bài toán. Ví dụ, căn bậc hai của 2 là đạp án cho phép tính X2 = 2.
Bằng cách kết hợp các số hữu tỉ và vô tỉ với nhau, đường thẳng số học giờ đã đầy đủ. Tập các số vô tỉ và hữu tỉ gọi là số thực, và các số này được sử dụng trong hầu hết mọi phép toán.
Pi (π)
Pi, tỉ lệ của chu vi bất cứ đường tròn nào so với bán kính của nó, có lẽ là con số quan trọng nhất được dùng trong hình học. Pi xuất hiện trong gần như mọi công thức liên quan tới đường tròn và hình cầu, ví dụ, diện tích hình tròn với đường kính r là π x r2.
Π cũng được sử dụng nhiều trong lượng giác. 2π là pha của các hàm số lượng giác cơ bản như sine và cosine. Điều này có nghĩa là các hàm này tự lặp lại mỗi pha bằng 2π. Các hàm số này và π đóng vai trò mấu chốt trong các bài toán về chu kì, đặc biệt trong việc giải thích nhữg chủ thể như sóng âm thanh.
Giống như căn bậc hai của 2, π là số vô tỉ, có nghĩa là phần thập phân kéo dài không có quy luật. Những chữ số bắt đầu khá thân quen: 3,14159... Các nhà toán học sử dụng các siêu máy tính đã tìm ra 10 tỉ tỉ các chữ số của π, mặc dù với hầu hết các ứng dụng thường ngày chúng ta chỉ sử dụng một vài chữ số đầu tiên để có được kết quả gần chính xác.
Pi, tỉ lệ của đường kính bất cứ đường tròn nào so với bán kính của nó, có lẽ là con số quan trọng nhất được dùng trong hình học.
Hằng số Euler (e)
Hằng số Euler, hay kí hiệu là e, là nền tảng của các phép toán với các hàm cấp số nhân. Các hàm cấp số nhân thể hiện các biểu thức tự nhân đôi hoặc chia đôi chính nó sau một khoảng thời gian nhất định. Nếu tôi có 2 con thỏ, sau một tháng tôi sẽ có 4 con, sau 2 tháng thì tôi có 8 con, sau 3 tháng là 16 con. Như vậy, sau n tháng, tôi sẽ có 2n+1 con thỏ, hay 2 tự nhân với chính nó n+1 lần.
e là một số vô tỉ, xấp xỉ 2,71828...; nhưng khác với các số vô tỉ khác, phần thập phân kéo dài vô tận không có quy luật. ex là một hàm cấp số nhân tự nhiên, nền tảng cho bất kì hàm cấp số nhân nào khác.
Lí do ex đặc biệt khá là rắc rối. Với những người đã quen biết giải tích, đạo hàm của ex cũng là ex. Điều này có nghĩa là với bất kì giá trị nào của x, tỉ lệ tăng giá trị theo cấp số nhân của hàm ex bằng với chính giá trị của hàm. Với x=2, hàm ex tăng giá trị theo cấp số nhân với tỉ lệ e2. Tính chất độc lập với mỗi hàm nhất định khiến ex rất dễ áp dụng trong các bài toán giải tích.
ex rất hữu dụng trong các bài toán cấp số nhân. Một ứng dụng điển hình là tìm ra tổng lãi suất liên tục được tái tục. Với giá trị ban đầu cho là P, với tỉ lệ lãi suất hàng năm là r, giá trị của một khoản đầu tư A(t) sau t năm được tính bằng công thức A=Pert.
e^x rất hữu dụng trong các bài toán cấp số nhân. Một ứng dụng điển hình là tìm ra tổng lãi suất liên tục được tái tục.
i - √(-1)
Ở trên đã nói tới việc có thể khai căn bất kì số dương nào, nhưng giờ hãy thử làm điều đó với số âm. Căn của số âm không thuộc tập số thực. Nhân hai số âm bất kì với nhau cho một số dương, nên bình phương của số bất kì sẽ cho kết quả dương, nên không có cách nào để bình phương một số thực mà có thể cho kết quả là một số âm.
Nhưng với toán học, khi gặp một giới hạn bất kì như vậy, chúng ta có thể mở rộng hệ số để loại giới hạn này. Thế nên, đứng trước vấn đề rằng chúng ta không khai căn -1 được, đơn giản chỉ cần giả sử nếu căn của -1 tồn tại. Ta xác định i, một đơn vị "tưởng tượng", là kết quả của phép căn bậc hai -1. Và kết hợp với tất cả các "số ảo" này, ta mở rộng tập số thực thành số phức.
Số phức có vô số thuộc tính và ứng dụng thú vị. Cũng giống như ta có thể biểu diễn số thực thành một đường thẳng, ta có thể biểu diễn số phức trên một mặt phẳng, với trục hoành thể hiện phần thực của số đó và trục tung thể hiện phần "ảo", căn của một số âm.
Bất kì phương trình đa thức nào cũng có ít nhất một kết quả thuộc tập phức. Điều này vô cùng quan trọng và các nhà toán học gọi nó là một định lí cơ bản của đại số. Hình học của mặt phẳng số phức có rất nhiều ứng dụng thú vị trong ngành kĩ thuật điện.