Dù con người đã có rất nhiều hiểu biết về số nguyên tố, vẫn còn khá nhiều các giả thuyết chưa thể chứng minh hoặc bác bỏ, như giả thuyết về 2 số nguyên tố sinh đôi hay giả thuyết về các số nguyên tố xuôi ngược.
Theo Business Insider, số nguyên tố là những số chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó. Mọi số tự nhiên khác đều có thể biểu diễn thành tích của các số nguyên tố, ví dụ 12 = 2 x 2 x 3; 50 = 5 x 5 x 2; 69 = 3 x 23. Nhà toán học cổ đại Euclid đã từng có một chứng minh nổi tiếng về sự vô hạn của số nguyên tố.
Dưới đây là những giả thuyết chưa thể chứng minh hay bác bỏ về số nguyên tố.
Số nguyên tố sinh đôi
Hai số nguyên tố sinh đôi là một cặp số nguyên tố chỉ cách nhau bởi đúng một số khác trên trục số tự nhiên, ví dụ 5 và 7, 11 và 13, 29 và 31... Giả thuyết về các số nguyên tố sinh đôi cho rằng có vô hạn các cặp số như vậy.
Tuy rất nhiều nhà toán học cho rằng giả thuyết này là đúng. Dù các số nguyên tố hiếm dần khi con số lớn lên, kinh nghiệm và trực giác của các nhà lý thuyết về số học cho thấy rằng các cặp số nguyên tố sinh đôi vẫn sẽ xuất hiện. Tuy nhiên, giả thuyết này chưa thực sự được chứng minh hay bác bỏ.
Vào mùa xuân năm 2013, nhà toán học Yitang Zhang của Đại học New Hampshire đã phát minh ra một kỹ thuật mới chứng minh được rằng có vô số cặp số nguyên tố mà ở giữa chúng không có nhiều hơn 70 triệu số khác.
Tuy đây vẫn là một con số khổng lồ, nhưng là lần đầu tiên một giới hạn hữu hạn về khoảng cách giữa các số nguyên tố từng được phát hiện, có thể coi là một bước đột phá trong quá trình chứng minh giả thuyết.
Sau đó tới mùa thu 2013, một nhóm các nhà toán học đã bổ sung thêm vào công trình của Zhang và đưa ra được các khoảng cách ngày một ngắn lại. Cuối cùng, họ chứng minh được rằng có vô số cặp số nguyên tố nhiều nhất chỉ có 246 số khác xen giữa.
Số nguyên tố xuôi ngược nổi tiếng nhất, hay số nguyên tố của quỷ. (Ảnh: ILUK).
Giả thuyết Goldback
Đây cũng là một giả thuyết đơn giản được nhà toán học người Phổ sống ở thế kỷ 16, Goldback đưa ra: mỗi số chẵn lớn hơn 2 đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố, ví dụ 4 = 2 + 2, 8 = 5 + 3, 20 = 13 + 7. Tuy nhiên nó chưa được chứng minh tổng quát cho mọi số chẵn.
Các nhà nghiên cứu trong thế kỷ 21 với sự trợ giúp của máy vi tính và các chương trình tính toán hiện đại đã xác minh giả thuyết này cho các số chẵn tới giới hạn 4 tỷ tỷ (4 và 18 số 0). Tuy nhiên trong toán học, điều này vẫn không có nghĩa là giả thuyết đúng với mọi số chẵn.
Số nguyên tố xuôi ngược
Số nguyên tố xuôi ngược là các số nguyên tố giữ nguyên giá trị dù đọc từ trái qua phải hay phải qua trái. Ví dụ 11, 101, 16561. Số nguyên tố xuôi ngược nổi tiếng nhất là số 1000000000000066600000000000001: số 1 rồi tới 13 số 0, tiếp theo là 666, lại tiếp 13 số 0 và kết thúc là 1. 666 chính là con số tượng trưng cho quỷ Satan trong Kinh Thánh. Số lượng 13 số 0 cũng là một con số được cho là xui rủi. Đây có thể coi là số nguyên tố xui xẻo nhất.
Cũng tương tự với các cặp số nguyên tố sinh đôi, hiện nay vẫn chưa thể xác định số lượng số nguyên tố xuôi ngược là vô hạn hay không. Nó cũng ít được sử dụng trong toán học hơn số nguyên tố sinh đôi.
Điểm khác biệt giữa hai loại, đó là một số nguyên tố có tính chất xuôi ngược hay không phụ thuộc hoàn toàn vào hệ đếm: những số nguyên tố xuôi ngược trong hệ nhị phân hoàn toàn khác trong hệ thập phân. Ví dụ số 31 không xuôi ngược trong hệ thập phân, nhưng trong hệ nhị phân nó là 1111, có tính chất xuôi ngược. Tuy nhiên, dù sử dụng hệ đếm nào thì các nhà toán học vẫn kết luận rằng số nguyên tố xuôi ngược là rất hiếm trong tập hợp các số xuôi ngược.
Giả thuyết Riemann
Đây là một trong những bài toán thiên niên kỷ, tập hợp của những vấn đề mở quan trọng nhất trong toán học. Giải quyết được bất kỳ vấn đề nào trong đó đều được giải thưởng lên tới một triệu USD.
Giả thuyết Riemann (theo tên của nhà toán học người Đức ở thế kỷ 19, Bernhard Riemann) cung cấp một sự ước đoán chính xác hơn rất nhiều về số lượng số nguyên tố nhỏ hơn một số cho trước. Tuy nhiên, cũng giống như các giả thuyết trên, dù đã được chứng minh là đúng với hàng tỷ trường hợp, nó vẫn chưa được chứng minh tổng quát.