Vô cực có thật không? Hay đó chỉ là những điều vô nghĩa trong toán học mà bạn nhận được khi chia cho số 0? Nếu vô cực không có thực, điều này có nghĩa là số 0 cũng không có thực? Và vô cực xuất hiện trong vật lý có nghĩa là gì?
Lược dịch bài viết của Sabine Hossenfelder, nhà vật lý lý thuyết người Đức nghiên cứu về lực hấp dẫn lượng tử, giải đáp vấn đề này.
Vô cực là cái không bị ràng buộc.
Hầu hết chúng ta gặp phải sự vô hạn (hay vô cực) lần đầu tiên khi chúng ta học đếm, và nhận ra rằng có thể tiếp tục đếm mãi mãi. Tôi biết đó không phải là một quan sát ban đầu quá khủng khiếp, nhưng điều này không kết thúc việc đếm vì bạn luôn có thể thêm một và nhận được một số lớn hơn là đặc tính quan trọng của vô hạn. Vô cực là cái không bị ràng buộc. Nó lớn hơn bất kỳ con số nào bạn có thể nghĩ đến. Bạn có thể nói nó lớn không thể tưởng tượng được.
Vô cực không hoàn toàn đơn giản vì, nghe có vẻ kỳ lạ, có nhiều loại vô cực khác nhau. Số lượng các số tự nhiên, 1,2,3… chỉ là loại vô cùng đơn giản nhất, được gọi là "vô cực đếm được". Và các số tự nhiên theo một cách rất cụ thể cũng vô hạn như các bộ số khác, bởi vì bạn có thể đếm các bộ khác này bằng cách sử dụng các số tự nhiên.
Về mặt hình thức, điều này có nghĩa là một tập hợp các số cũng vô hạn tương tự như các số tự nhiên, nếu bạn có một ánh xạ một-một từ các số tự nhiên đến tập hợp khác đó. Nếu có một ánh xạ như vậy thì hai tập hợp đó có cùng kiểu vô cực.
Ví dụ: nếu bạn thêm số 0 vào các số tự nhiên - do đó bạn nhận được tập hợp 0, 1, 2, 3, v.v. - thì bạn có thể ánh xạ các số tự nhiên thành số này bằng cách trừ một ( - 1) từ mỗi số tự nhiên. Cũng như vậy với tập hợp các số tự nhiên và tập hợp các số tự nhiên cộng với số 0 là cùng loại vô cực.
Điều này cũng giống như vậy đối với tập hợp tất cả các số nguyên Z, bằng 0, ± 1, ± 2, v.v. Bạn có thể gán duy nhất một số tự nhiên cho mỗi số nguyên, vì vậy các số nguyên cũng là vô hạn.
Số hữu tỉ, tức là tập hợp tất cả các phân số của số nguyên, cũng có thể đếm được vô hạn. Tuy nhiên, số thực chứa tất cả các số có vô hạn chữ số sau dấu chấm (.), tuy nhiên, không đếm được là vô hạn. Bạn có thể nói nó thậm chí còn vô hạn hơn các số tự nhiên. Thực tế có vô số loại vô hạn, nhưng hai loại này, tương ứng với số tự nhiên và số thực, là hai loại được sử dụng phổ biến nhất.
Hiện nay, có nhiều loại vô hạn khác nhau là điều thú vị, nhưng phù hợp hơn để sử dụng vô cực trong thực tế là hầu hết các số vô hạn thực sự giống nhau. Do đó, nếu bạn thêm một vào vô cùng, kết quả vẫn là vô cùng. Và nếu bạn nhân vô cực với 2, bạn sẽ lại nhận được cùng vô cực. Nếu bạn chia 1 cho vô hạn, bạn sẽ nhận được một số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn bất kỳ giá trị nào, vì vậy số đó bằng 0. Nhưng bạn sẽ nhận được điều tương tự nếu bạn chia 2 hoặc 15 hoặc căn bậc hai của 8 cho vô hạn. Kết quả luôn là số 0.
Sabine Hossenfelder, nhà vật lý và là tác giả của cuốn "Lạc lối trong Toán học", xoay quanh chủ đề các nhà vật lý lý thuyết thường dựa vào vẻ đẹp - đặc biệt là sự đơn giản và tự nhiên - khi họ phát triển các định luật mới mô tả tự nhiên. Những hướng dẫn này đã có ảnh hưởng mạnh mẽ đến nền tảng của vật lý kể từ khi phát triển mô hình tiêu chuẩn của vật lý hạt, mô tả tất cả các hạt cơ bản đã biết và giải thích cách chúng tương tác. Nhưng vẻ đẹp này cũng có thể dẫn các nhà khoa học đến ngõ cụt.
Tôi hy vọng không có nhà toán học nào theo dõi điều này, bởi vì về mặt kỹ thuật, người ta không nên viết các quan hệ này dưới dạng phương trình. Thực sự chúng là những tuyên bố về loại vô cực. Chẳng hạn trường hợp đầu tiên chỉ có nghĩa là nếu bạn thêm 1vào vô cùng, thì kết quả là cùng một loại vô cùng.
Vấn đề khi viết các quan hệ này dưới dạng phương trình là nó có thể dễ dàng sai. Ví dụ, bạn có thể thử trừ vô cùng trên cả hai vế của phương trình này, cho bạn những điều vô nghĩa giống như 1 bằng 0. Tại sao vậy? Đó là bởi vì bạn đã quên rằng vô cực ở đây thực sự chỉ cho bạn biết loại vô cực. Nó không phải là một con số. Nếu điều duy nhất bạn biết về 2 số vô hạn là chúng cùng loại, thì sự khác biệt giữa chúng có thể là bất cứ điều gì.
Còn tệ hơn nếu bạn làm những việc như chia vô cực cho vô cực hoặc nhân vô cực với 0. Trong trường hợp này, kết quả không chỉ có thể là bất kỳ số nào mà còn có thể là bất kỳ loại vô hạn nào.
Toàn bộ câu chuyện vô cực này chắc chắn trông giống như một mớ hỗn độn, nhưng các nhà toán học thực sự biết rất rõ cách đối phó với vô cực. Bạn chỉ cần phải cẩn thận để theo dõi xem vô cực của bạn đến từ đâu.
Ví dụ: giả sử bạn có một hàm như x bình phương đi đến vô cùng khi x đi đến vô cùng. Bạn chia nó cho một hàm số mũ, nó cũng đi đến vô cùng với x. Vì vậy, bạn đang chia vô cùng cho vô cùng. Điều này nghe có vẻ xoắn não quá đúng không?
Nhưng trong trường hợp này, bạn biết cách đến vô cùng thế nào và do đó bạn có thể tính toán kết quả một cách rõ ràng. Trong trường hợp này, kết quả là 0. Cách dễ nhất để xem điều này là vẽ biểu đồ phân số dưới dạng một hàm của x.
Nếu bạn biết số vô hạn của mình đến từ đâu, bạn cũng có thể trừ một vô cực này với vô cực khác. Thật vậy, các nhà vật lý làm điều này mọi lúc trong lý thuyết trường lượng tử. Ví dụ, bạn có thể có các thuật ngữ như 1 / epsilon, 1 / epsilon vuông và logarit của epsilon. Mỗi thuật ngữ này sẽ cung cấp cho bạn vô hạn với epsilon bằng 0. Nhưng nếu bạn biết rằng hai số hạng có cùng vô cực, vì vậy chúng là cùng một hàm của epsilon, thì bạn có thể cộng hoặc trừ chúng như các con số. Trong vật lý, thông thường mục tiêu của việc làm này là để chứng minh rằng khi kết thúc một phép tính, chúng đều triệt tiêu lẫn nhau và mọi thứ đều có ý nghĩa.
Vì vậy, về mặt toán học, vô cực rất thú vị. Đối với những gì liên quan đến toán học, chúng ta biết làm thế nào để giải quyết vấn đề vô hạn.
Nhưng liệu vô cực có thật không? Nó có tồn tại không?
Câu trả lời là có, nó được cho là tồn tại theo nghĩa toán học, theo nghĩa là bạn có thể phân tích các thuộc tính của nó và nói về nó như chúng ta vừa làm. Nhưng theo nghĩa khoa học, vô cực không tồn tại.
Đó là bởi vì về mặt khoa học, chúng ta chỉ có thể nói rằng một yếu tố của lý thuyết tự nhiên "tồn tại" nếu nó là cần thiết để mô tả các quan sát. Và vì chúng ta không thể đo lường vô hạn, chúng ta không thực sự cần nó để mô tả những gì chúng ta quan sát. Trong khoa học, chúng ta luôn có thể thay thế vô cực bằng một số rất lớn nhưng hữu hạn. Chúng ta không làm điều này. Nhưng chúng ta có thể.
Đây là một ví dụ chứng minh cách mà các số vô hạn trong toán học không thể đo lường được trong thực tế. Giả sử bạn có một con trỏ laser và bạn xoay nó từ trái sang phải và điều đó làm cho một chấm đỏ di chuyển trên tường ở một khoảng cách xa. Tốc độ mà chấm di chuyển trên tường là bao nhiêu?
Điều đó phụ thuộc vào tốc độ bạn di chuyển con trỏ laser và khoảng cách của bức tường. Càng xa bức tường, dấu chấm di chuyển càng nhanh theo cú xoay. Thật vậy, cuối cùng nó sẽ di chuyển nhanh hơn ánh sáng. Điều này nghe có vẻ khó hiểu, nhưng lưu ý rằng dấu chấm không thực sự là một thứ di chuyển. Nó chỉ là một hình ảnh tạo ra ảo giác về một vật thể đang chuyển động. Những gì thực sự đang chuyển động là ánh sáng từ con trỏ đến tường và nó di chuyển chỉ với tốc độ ánh sáng.
Tuy nhiên, bạn chắc chắn có thể quan sát chuyển động của dấu chấm không? Vì vậy, chúng ta có thể hỏi rằng, chấm tròn có thể di chuyển nhanh vô hạn, và do đó chúng ta có thể quan sát một thứ gì đó vô hạn không?
Có vẻ như để dấu chấm di chuyển nhanh vô hạn, bạn phải đặt bức tường ở xa vô cùng, điều mà bạn không thể làm được. Đợi đã, thay vào đó, bạn có thể nghiêng tường một góc. Bạn càng nghiêng nó, chấm di chuyển trên bề mặt tường càng nhanh khi bạn xoay con trỏ laser. Thật vậy, nếu bức tường song song với hướng của chùm tia laser, có vẻ như chấm sẽ di chuyển nhanh vô hạn trên bức tường. Về mặt toán học, điều này xảy ra vì giá trị của hàm tiếp tuyến tại pi/2 là vô cùng. Nhưng điều này có xảy ra trong thực tế?
Trong thực tế, bức tường sẽ không bao giờ phẳng hoàn toàn, vì vậy luôn có một số điểm sẽ nhô ra và điều đó sẽ làm mờ dấu chấm. Ngoài ra, bạn không thể thực sự đo dấu chấm ở cùng một thời điểm trên cả hai đầu bức tường vì bạn không thể đo thời gian một cách chính xác một cách tùy ý. Trong thực tế, điều tốt nhất bạn có thể làm là chỉ ra rằng dấu chấm di chuyển nhanh hơn một giá trị hữu hạn nào đó.
Kết luận này không cụ thể đối với ví dụ với con trỏ laser. Bất cứ khi nào bạn cố gắng đo lường thứ gì đó vô hạn, điều tốt nhất bạn có thể làm trong thực tế là nói rằng nó lớn hơn thứ gì đó hữu hạn mà bạn đã đo lường. Và không có thử nghiệm nào có thể cho thấy điều đó. Vì vậy, vô cực là không có thực theo nghĩa khoa học.
Tuy nhiên, các nhà vật lý luôn sử dụng vô cực. Lấy ví dụ về kích thước của vũ trụ. Trong hầu hết các mô hình đương đại, vũ trụ rộng lớn vô hạn. Nhưng đây là một tuyên bố về tính chất toán học của các mô hình này. Phần vũ trụ mà chúng ta thực sự có thể quan sát chỉ có kích thước hữu hạn.
Và vấn đề vô cực không đo lường được có liên quan mật thiết đến vấn đề bằng 0. Lấy ví dụ về sự trừu tượng toán học của một điểm. Các nhà vật lý sử dụng điều này mọi lúc khi họ xử lý các hạt điểm. Một điểm có kích thước bằng không. Nhưng bạn sẽ phải đo chính xác vô hạn để cho thấy rằng bạn thực sự có một thứ gì đó có kích thước bằng 0. Vì vậy, bạn chỉ có thể hiển thị nó nhỏ hơn bất cứ giá trị nào mà độ chính xác đo lường của bạn cho phép.
Vô cực và 0 có ở khắp mọi nơi trong vật lý. Ngay cả trong những thứ dường như vô hình như không gian, hoặc không-thời gian. Thời điểm bạn viết ra các tính toán không gian, bạn cho rằng không có khoảng trống nào trong đó. Bạn cho rằng đó là một khối liên tục trơn tru, được tạo thành từ vô số điểm nhỏ vô hạn.
Về mặt toán học, đó là một giả định thuận tiện vì nó rất dễ cho công việc. Và nó dường như đang hoạt động tốt. Đó là lý do tại sao hầu hết các nhà vật lý không lo lắng nhiều về vô cực. Họ chỉ sử dụng vô cực như một công cụ toán học hữu ích.
Nhưng có thể việc sử dụng vô cực và 0 trong vật lý sẽ mang lại những sai lầm vì những giả định này không những không được chứng minh về mặt khoa học mà còn không thể chứng minh về mặt khoa học. Và điều này có thể đóng một vai trò trong sự hiểu biết của chúng ta về vũ trụ hoặc cơ học lượng tử. Đây là lý do tại sao một số nhà vật lý, như George Ellis, Tim Palmer và Nicolas Gisin đã tranh luận rằng chúng ta nên xây dựng công thức vật lý mà không sử dụng số vô hạn hoặc số chính xác vô hạn.