Các nhà toán học đã đạt được những tiến bộ đầu tiên trong 76 năm ở câu hỏi: Hai số nguyên tố liên tiếp có thể cách nhau khoảng cách lớn nhất là bao nhiêu?
Tháng 5/2013, nhà toán học Zhang Yitang (Trương Ích Đường, người Mỹ gốc Hoa) ở Đại học New Hampshire lần đầu tiên chứng minh được rằng mặc dù số nguyên tố càng lớn càng hiếm, ta sẽ luôn tìm được những cặp số nguyên tố cách nhau một khoảng cách bị chặn - anh đã chứng minh được khoảng này là trong vòng 70 triệu. Sau công bố của Zhang, nhiều nhà toán học cùng tham gia nghiên cứu để cải thiện kết quả, và đã hạ giới hạn này xuống còn 246, gần hơn đáng kể giả thiết số nguyên tố sinh đôi (twin primes) - giả thiết cho rằng có vô hạn cặp số nguyên tố cách nhau hai đơn vị.
Paul Erdos (trái) và Terence Tao năm 1985
Hiện nay các nhà toán học đã đạt được những tiến bộ quan trọng đầu tiên trong 76 năm đối với câu hỏi theo hướng ngược lại: "Khoảng cách lớn nhất giữa hai số nguyên tố liên tiếp có thể là bao nhiêu? Cho tới nay chưa ai có thể trả lời vấn đề này".
"Đây là một câu hỏi rất hiển nhiên, một trong những câu hỏi đầu tiên về số nguyên tố", Andrew Granville, một nhà lý thuyết số học ở Đại học Montreal (Canada) nói. “Nhưng chúng ta hầu như vẫn không có thêm bước tiến nào trong gần 80 năm".
Tháng Tám vừa qua, hai nhóm nhà toán học - nhóm một gồm bốn thành viên trong đó có Terrence Tao thuộc Đại học California và nhóm hai là James Maynard của Đại học Oxford - đã công bố những nghiên cứu của họ, chứng minh một giả thuyết đã tồn tại lâu năm của nhà toán học Paul Erdos về độ lớn của khoảng cách giữa hai số nguyên tố. Sau đó, hai nhóm này đã kết hợp với nhau để cải tiến kết quả của mình. Kết quả đó mới đây đã được công bố vào tháng 12/2014 (có thể xem tại: http://arxiv.org/abs/1412.5029).
Erdos, một trong những nhà toán học có nhiều công trình nhất thế kỷ XX, từng nghĩ ra hàng trăm vấn đề toán học khác nhau; ai giải được sẽ được ông thưởng, thường chỉ ở mức 25 USD. Riêng tiền thưởng cho câu hỏi về khoảng cách giữa các số nguyên tố thì Erdos nâng lên đến 10.000 USD.
Giả thuyết của Erdos dựa trên một chặn dưới (nhìn kỳ quặc), được tìm ra năm 1938 bởi Robert Alexander Rankin, nhà toán học người Scotland. Với số X đủ lớn, Rankin chứng minh rằng, khoảng cách lớn nhất giữa hai số nguyên tố liên tiếp (sau đây gọi là khoảng cách nguyên tố) nhỏ hơn X luôn lớn hơn hoặc bằng
Terence Tao từng nói: Các công thức lý thuyết số nổi tiếng vì có nhiều "log" (viết tắt của logarit tự nhiên). Thậm chí giới lý thuyết số còn có câu đùa: “Nhà lý thuyết số đang chết đuối sẽ kêu như thế nào?” - “Log log log log...”.
Terence Tao cho rằng kết quả của Rankin là: “một công thức tức cười, bạn không nghĩ nó có thể xuất hiện một cách tự nhiên. Mọi người đều tin rằng có thể cải tiến nhanh chóng công thức này”. Nhưng ngoài một số cải tiến nhỏ, không có một tiến bộ nào được thực hiện với công thức của Rankin trong hơn bảy thập niên qua.
Nhiều nhà toán học tin rằng kích cỡ thực tế của khoảng cách nguyên tố có thể lớn hơn nhiều - lên đến (log X)2, như ý tưởng của nhà toán học Thụy Điển Harald Cramer nêu ra năm 1936. Khoảng cách này xảy ra nếu ta giả sử tập hợp các số nguyên tố giống như một tập hợp các số ngẫu nhiên, trên thực tế hai tập hợp này có nhiều điểm giống nhau. Nhưng không ai có thể chứng minh giả thuyết của Cramer. Terence Tao kết luận “Chúng ta còn chưa hiểu rõ lắm về số nguyên tố".
Giả thiết của Erdos khiêm tốn hơn: Có thể thay 1/3 trong công thức của Rankin bằng bất cứ số nào miễn là chúng ta tăng X lên đủ lớn. Điều đó nghĩa là khoảng cách nguyên tố nhận được có thể lớn hơn trong công thức của Rankin nhiều, tuy vẫn chưa lớn như trong công thức của Cramer. Hai chứng minh cho giả thuyết của Erdos được nhắc ở trên, đều dựa trên một cách xây dựng đơn giản về khoảng cách nguyên tố lớn giống như một dãy dài các hợp số.
Ví dụ, đây là một cách xây dựng một dãy 100 hợp số liên tiếp: Lấy 100 số từ 2 đến 101 và thêm vào 101! (giai thừa của 101). Dãy này trở thành 101! + 2, 101! + 3, 101! + 4, ... , 101! + 101. Vì 101! chia hết cho các số từ 2 đến 101, mỗi số trong dãy trên chắc chắn là hợp số: 101! + 2 chia hết cho 2, 101! + 3 chia hết cho 3,...
James Maynard nói: “Các chứng minh về khoảng cách nguyên tố lớn đều dùng các biến thể nhỏ của phương pháp xây dựng này". Những hợp số trong dãy trên đều rất lớn vì 101! có 160 chữ số. Để cải tiến công thức của Rankin, các nhà toán học phải chứng minh sự tồn tại các dãy hợp số nhỏ hơn nhiều - có thể thêm một số nhỏ hơn 101! nhiều vào dãy 2, 3, ..., 101 mà vẫn tạo ra một dãy hợp số. Cả hai nhóm đạt được điều này bằng cách dùng những phát hiện gần đây - mỗi nhóm dùng một phát hiện khác nhau - về cách các số nguyên tố phân bố. Thêm vào đó, công trình của Maynard dùng một số công cụ phát triển trong năm ngoái liên quan đến những khoảng cách nguyên tố nhỏ.
Giờ đây, năm nhà nghiên cứu của hai nhóm đang tập trung làm một công trình chung tốt hơn mà theo Tao sẽ đẩy phương pháp của Rankin xa hết mức có thể trong giới hạn những kỹ thuật hiện nay.
Công trình này chưa có những ứng dụng ngay lập tức mặc dù việc hiểu rõ khoảng cách nguyên tố lớn có thể ảnh hưởng đến các thuật toán mã hóa. Nếu khoảng cách nguyên tố tìm được còn lớn hơn giả thiết của Cramer thì có thể các thuật toán mã hóa dựa trên việc tìm các số nguyên tố lớn sẽ gặp vấn đề. Maynard nói: “Nếu thuật toán không may bắt đầu tìm ở đoạn đầu của một khoảng cách nguyên tố rất lớn thì chương trình sẽ tốn rất nhiều thời gian".
Tao có động cơ cá nhân hơn khi nghiên cứu khoảng cách nguyên tố. “Sau một thời gian, những thứ này bắt đầu làm bạn khó chịu", anh nói, “Bạn được cho là chuyên gia về số nguyên tố, nhưng bạn không thể trả lời những câu hỏi cơ bản như trên, cho dù người ta đã nghĩ về chúng hàng thế kỷ".
Erdos mất năm 1996 nhưng Ronald Graham ở Đại học California, San Diego, người từng cộng tác nhiều với Erdos, quyết định sẽ tài trợ cho giải thưởng 10.000 USD mà Erdos đã cam kết.
Năm 1985, thần đồng 10 tuổi Tao lần đầu tiên giải được một bài toán Erdos treo thưởng và anh đã gặp Erdos ở một sự kiện toán học. “Ông ấy đối xử ngang hàng với tôi, ông ấy nói với tôi những vấn đề toán học nghiêm túc", Tao -người được nhận Huy chương Fields năm 2006, nhớ lại.
Những tiến bộ gần đây về các khoảng cách nguyên tố nhỏ cũng như lớn đã tạo nên một thế hệ các nhà lí thuyết số nghĩ rằng không gì là không thể, Granville nói: “Khi tôi còn đang học, chúng tôi nghĩ rằng có những vấn đề sẽ không có câu trả lời cho đến một thời kì toán học mới... Nhưng tôi nghĩ rằng trong mấy năm qua, thái độ đã thay đổi. Nhiều nhà toán học trẻ có tham vọng lớn hơn nhiều vì họ thấy được rằng ta có thể tạo được những tiến bộ lớn lao trong toán học".