Đại số trong trường học thật sự dạy chúng ta điều gì và có ý nghĩa như thế nào? (Phần 2)

Đại số là một bộ môn quan trọng trong toán học, một bước tiến xa hơn nhiều so với số học trong lịch sử toán học. Trong số học, bạn làm việc với các con số cụ thể, còn trong đại số, đối tượng nghiên cứu của bạn là các mối quan hệ giữa các con số, các cấu trúc trừu tượng với các số tổng quát. Học đại số có ích gì cho chúng ta trong cuộc sống hàng ngày? Mời bạn đọc đến với phần 2 của loạt bài hai phần về bản chất môn đại số trong trường học và ý nghĩa của nó.

Tư duy đại số, một phương pháp tư duy để xử lý các bài toán phức tạp nhanh chóng và chính xác hơn

Vì sao chúng ta dùng "X" làm ẩn số trong Toán học?

Phần 2: Ý nghĩa của đại số trong cuộc sống và một số ý kiến về tư duy đại số

Tóm tắt phần 1: sự khác biệt giữa số học và đại số, khái quát về đại số trong trường học

Loạt bài lược dịch từ blog tiến sĩ Keith Devlin, một giáo sư toán ở đại học Stanford nổi tiếng với hơn 100 đầu sách và nghiên cứu đã được xuất bản.

Liệu việc thành thạo đại số (ví dụ thành thạo tư duy đại số) có đáng để nỗ lực? Chắc chắn, mặc dù bạn sẽ phải phấn đấu trong gian khổ để đạt tới đích đó, dựa trên những gì bạn sẽ tìm được trong hầu hết sách giáo khoa đại số ở trường học.

Trong thế giới hôm nay, hầu hết chúng ta thật sự cần học cách thành thạo tư duy đại số. Một ví dụ là bạn cần dùng tư duy đại số nếu muốn viết một macro để tính các ô trong bảng tính Microsoft Excel. Chỉ một ví dụ này cũng giúp chúng ta thấy rõ vì sao đại số, chứ không phải số học, mới là mục tiêu chính của việc dạy toán trong trường học. Với bảng tính, bạn không cần làm bài tập số học mà máy tính sẽ làm nó, nhanh hơn và chính xác hơn nhiều so với bất kỳ con người nào đó nói chung. Cái mà bạn-con người-phải làm là tạo ra bảng tính đó vào lúc ban đầu. Máy tính không thể làm điều đó cho bạn.

Vấn đề không nằm ở chỗ bạn dùng bảng tính để làm gì, để tính điểm cho giải đấu thể thao, theo dõi tài chính, điều hành doanh nghiệp/câu lạc bộ, tìm ra giải pháp tốt nhất để trang bị cho nhân vật của bạn trong World of Warcraft, vấn đề là bạn cần tư duy đại số để thiết lập bảng tính thực hiện điều bạn muốn. Điều đó có nghĩa là tư duy về các con số ở dạng tổng quát thay vì các con số cụ thể.

Theo tiến sĩ Keith, mặc dù các bảng tính có thể đem lại cho sinh viên ngày nay những ứng dụng thỏa mãn và có ý nghĩa hơn các bài toán về số xe lửa rời trạm, số vòi xịt trong bể bơi mà thế hệ ông từng "chịu đựng" nhưng dĩ nhiên là sự cần thiết của đại số không làm cho môn học này dễ dàng hơn chút nào. Nhưng trong một thế giới mà kế sinh nhai của mỗi đất nước phụ thuộc vào việc dẫn đầu trên đường cong công nghệ, trang bị cho học sinh các kỹ năng tư duy mà thế giới đang cần là việc quan trọng. Khả năng dùng máy tính là một trong những kỹ năng đó. Và khả năng dùng máy tính để làm bài tập số học đòi hỏi chúng ta phải có tư duy đại số.

Khả năng dùng máy tính để làm bài tập số học đòi hỏi chúng ta phải có tư duy đại số. (Ảnh: Exceljet).

Những chia sẻ và câu hỏi về triết học đại số

Bài viết của tiến sĩ Keith Devlin đã giúp cho nhiều người hiểu được vì sao họ phải vật lộn với môn đại số trong thời học sinh, đồng thời bài viết cũng nhận được nhiều chia sẻ, thắc mắc về tư duy đại số. Dưới đây là một số câu hỏi, chia sẻ hay của độc giả và phần trả lời của tiến sĩ Keith.

1. So sánh sự giống nhau giữa đại số và Microsoft Excel rất hay. Tôi hay dạy học sinh của mình là đại số giống như chạy qua lốp xe (run tires, tires run) trong việc tập chơi bóng đá. Bạn sẽ không bao giờ chạy qua lốp xe trong một trận bóng đá, nhưng bạn làm điều đó để rèn cho chân mình cách chạy tốt. Tương tự, đại số là học cách làm thế nào để tư duy hợp lý và giải quyết vấn đề. Không có sếp nào yêu cầu bạn phân tích một đa thức thành nhân tử, nhưng họ sẽ yêu cầu bạn giải quyết một vấn đề một cách hợp lý. (Eric Blask)

(Ảnh: Youtube)

2. Còn hơn cả giải quyết vấn đề, đại số là giải quyết vấn đề liên quan đến ký hiệu, nghĩa là làm việc với các ký hiệu trừu tượng phi ngôn ngữ. Sáng nay, khi nghĩ về việc vì sao có quá nhiều học sinh vượt qua hình học nhưng phải "chiến đấu" với đại số, tôi nghĩ nó liên quan tới các ký hiệu trừu tượng. Thật sự một khóa học hình học tiêu chuẩn không có nhiều ký hiệu trừu tượng, dĩ nhiên là ngoại trừ các khóa học có pha trộn đại số. Các ký hiệu khá đơn giản và thường tương đối cụ thể, ví dụ như các ký tự chỉ các góc (A, B, C…), hay ký tự n chỉ số cạnh (các nhãn tên kiểu này là một loại ký hiệu tương đối cổ điển, giống như ký hiệu số học hay ngôn ngữ), những thứ mà bạn có thể đặt vào một sơ đồ một cách chắc chắn. Kể cả các chứng minh hình học cũng tương đối cụ thể trong cách bạn làm việc với một sơ đồ (mà bạn có thể gặp rắc rối!), sự trừu tượng ở đây là một loại trừu tượng khác với đại số.

Còn các thủ thuật Excel, dường như chúng làm cho các ký hiệu đại số trừu tượng hơn trở nên cụ thể. Vì bạn có thể thay đổi các ô đầu vào và nhìn thấy các ô đầu ra thay đổi. Do đó, bạn sẽ quen với việc hình dung ý nghĩa thay đổi/tạm thời của một ký hiệu theo nhiều cách mà nếu không có Excel thì bạn sẽ phải tự hình dung trong trí óc. Vì vậy, có thể đó là một cách xem xét sự khác biệt-các ký hiệu trong đại số có thể đại diện cho những thứ khác nhau trong những trường hợp khác nhau, do bản chất của chúng. Các ký hiệu trong đại số có chiều hướng theo thời gian/thay đổi.

Trong thực tế, điều đó cũng đúng với các chứng minh hình học, ngoại trừ một việc là, vì hứng thú với thành công của học sinh, chúng ta đã loại bỏ vấn đề thay đổi - chúng ta cố gắng vẽ ra một sơ đồ tiêu biểu duy nhất (giữa các biến/sự kiện không có các quan hệ giả-quan hệ mơ hồ, không rõ ràng) và lập luận với nó. Thỉnh thoảng tôi cố gắng giúp một học sinh "nhìn ra" một định lý bằng cách tưởng tượng các phần của sơ đồ di chuyển, cho biết các ràng buộc, rồi quan sát xem cái gì vẫn phải giữ nguyên.

Ví dụ, khi tăng số độ của một góc trong một tam giác, ta sẽ thấy các góc khác (hoặc chỉ một góc) phải giảm cùng một số độ. Bằng trực giác, điều đó thiết lập nên phán đoán "tổng của các góc" là một hằng số. Hằng số đó là gì? Tăng một góc cho đến khi nó gần bằng 180 và hai góc kia gần bằng 0, ồ, đó là 180 độ. Điều này cũng đúng với đa giác nói chung, và cả trường hợp tổng quát, tăng (n-2) số góc đến gần 180 thì hai góc cuối cùng sẽ phải bằng 0! (David Lewis).

(Ảnh: Wikipedia).

Nhưng tôi phải nói rằng, ý tưởng này thường không hấp dẫn học sinh nhiều như nó hấp dẫn tôi. Nếu tôi có thể làm điều đó trong một "bảng tính" hình học như Geometer's Sketchpad (một phần mềm tương tác có phí để học hình học Euclide, đại số, tích phân...), có thể ý tưởng này sẽ tốt hơn. Do đó, có nhiều bằng chứng hơn cho thấy vấn đề thời gian/thay đổi mới là những yếu tố mới mẻ khiến cho mọi thứ khó nắm bắt hơn với học sinh. Và thay đổi là điều xuất hiện nhiều trong đại số - hãy nhìn vào thế giới đó - các biến số! Vì vậy, đại số còn cao hơn cả "tư duy một cách hợp lý".

Thay đổi là điều xuất hiện nhiều trong đại số. (Ảnh: KNILT).

Chia sẻ của Keith:

Tôi đồng ý rằng đại số cao cấp hơn (còn được gọi là đại số hiện đại) vốn có tính ký hiệu/trừu tượng, nhưng đại số trong trường học, trọng tâm trong bài viết của tôi thì không như vậy. Trên thực tế, đại số bằng lời văn đã được thực hiện trong hàng ngàn năm cho tới khi phương pháp ký hiệu được Viete giới thiệu vào thế kỷ 16 (như đã nêu trong phần 1).

Trong cuốn sách "The Math Gene" (Gen toán) xuất bản năm 2000 của tôi, tôi đã khảo sát các vấn đề nhận thức mà con người gặp phải khi đối mặt với sự trừu tượng. Nếu mục tiêu là dạy đại số cổ điển (hay tư duy đại số) thì có thể không cần chú trọng nhiều đến các ký hiệu trừu tượng, và theo tôi bảng tính là một cách tốt để thiết lập các ký hiệu đó.

Dĩ nhiên, khả năng thao tác với các cấu trúc ký hiệu trừu tượng cũng có giá trị. Nhưng khi việc dùng bảng tính hiện nay là một kỹ năng hữu ích cho mọi người thì việc thành thạo các hệ thống ký hiệu-trừu tượng ít quan trọng hơn, vì nhiều người thấy khó hoặc không có khả năng nắm bắt các hệ thống đó. Do đó, có thể chúng ta cần trì hoãn việc dùng nhiều ký hiệu cho tới khi học sinh đã thành thạo tư duy đại số.

3. "Số phát sinh trước hết như là tiền tệ, và số học phát sinh như là một phương tiện để dùng tiền trong thương mại" (một ý trong phần 1). Ông có nghĩ như vậy không? Còn các số một được biểu diễn bằng các hình vẽ voi ma mút (mammoth, một loại voi cổ đại đã tuyệt chủng cách đây gần 5 triệu năm) trên các bức tường hang động thì sao?

Keith: Bạn đã đưa ra một ý kiến thú vị và tinh tế. Cái mà bạn miêu tả không liên quan tới các con số. Đó là một hình thức của hệ thống tính toán sơ khai. Các hệ thống tính toán phổ biến trong lịch sử ban đầu của nhân loại, nhưng chúng chỉ yêu cầu sự tương ứng một – một (là tương ứng một – một giữa vật đại diện có hình giống vật dùng để đếm và các vật thật cần đếm, do chưa có chữ số nên người cổ dùng vật đại diện để đếm số lượng), kiểu như "tôi có cái này, tôi có nhiều cái kia". Các con số phát sinh khi bạn trừu tượng hóa chúng như vật trung gian giữa bộ sưu tập các vật thể và các tính toán liên quan. Chúng ta thấy được giai đoạn trừu tượng hóa tương tự khi trẻ nhỏ học. Ban đầu, chúng nắm được ý tưởng tương ứng một – một, và chỉ đến sau đó chúng mới nắm bắt được khái niệm số.

Một mảnh xương có niên đại 20.000 năm khắc các số một của người cổ. (Ảnh: CC-SA).

4. Tôi tự hỏi có ai đó có thể rất giỏi đại số nhưng kém số học? (Jerry Lou)

Keith: Nhiều nhà toán học chuyên nghiệp, kể cả tôi cũng có những khuynh hướng như thế. Trong thực tế, điều này có thể là vì (1) thiếu hứng thú với số học và (2) các nhà toán học hầu như không bao giờ sử dụng số học, vì vậy mọi tiến bộ họ đã tích lũy được ở trường trung học có khuynh hướng chết dần do thiếu cơ hội sử dụng. Mặt khác, thành thạo số học cần có một trí nhớ tốt, còn trong đại số, bạn có thể hình dung ra mọi thứ bằng logic, và điều đó có thể tiếp tục diễn ra nhiều hơn với các nhà toán học.

• Đại số trong trường học thật sự dạy chúng ta điều gì và có ý nghĩa như thế nào? (Phần 1)