Hai nhà toán học tìm ra trật tự trong hỗn độn nhận giải thưởng Abel

Hillel Furstenberg và Gregory Margulis đã áp dụng các lý thuyết về xác suất, tính ngẫu nhiên và động lực học hệ thống vào nhiều lĩnh vực toán học.

Nhà toán học Hillel Furstenberg người Israel và Gregory Margulis người Mỹ gốc Nga vừa vinh dự nhận Giải thưởng Abel 2020 - một trong những giải thưởng danh giá nhất trong lĩnh vực Toán học.

Giải thưởng này được trao vì cả hai “đã tiên phong sử dụng các phương pháp xác suất và động lực học trong lý thuyết nhóm, lý thuyết số và toán học tổ hợp". Viện hàn lâm Khoa học và Văn chương Na Uy công bố vào ngày 18/3/2020. Cả hai đã thu hẹp khoảng cách giữa các lĩnh vực toán học khác nhau, giải quyết các vấn đề dường như vượt ngoài tầm với.

Hillel Furstenberg (trái) and Gregory Margulis nhận Giải thưởng Abel năm 2020. (Ảnh: Yosef Adest, Dan Renzetti).

Furstenberg cho biết, ông “hoàn toàn không tin nổi” khi biết mình thắng giải. “Tôi từng nghe danh Giải thưởng Abel và biết những người từng đoạt giải trước đây. Tôi thấy họ thuộc một liên minh riêng biệt và tôi không thuộc liên minh đó,” ông nói.

Ông cũng chia sẻ thêm rằng từ ban đầu, ông không hề đoán trước được tác động mà những ý tưởng của mình mang lại: “Giống như bất kỳ nhà toán học nào khác, tôi nghe theo trực giác của mình và tìm kiếm những thứ có vẻ thú vị".

Còn Margulis cũng cảm thấy vô cùng vinh dự khi có được sự công nhận này từ cộng đồng toán học.

Những hệ thống hỗn độn

Ý tưởng chủ đạo trong công trình nghiên cứu của cả hai nhà toán học là sử dụng các phương pháp của lý thuyết ergodic, một lĩnh vực toán học bắt nguồn từ nghiên cứu các vấn đề vật lý như chuyển động của quả bóng billiard hoặc hệ hành tinh.

Lý thuyết ergodic nghiên cứu các hệ thống phát triển theo thời gian, và cuối cùng khám phá được hầu như tất cả các hình trạng có thể có của chúng. Các hệ thống này thường hỗn độn, nghĩa là chúng ta chỉ có thể dự đoán hành vi trong tương lai của chúng bằng cách sử dụng xác suất.

Lý thuyết Ergodic khám phá hành vi của vật chất dẫu chúng nằm trong một hệ thống hỗn độn dường như không có trật tự.

Nhưng sự ngẫu nhiên đó có thể là thế mạnh khi áp dụng cho các vấn đề toán học khác. “Nếu bạn muốn hiểu một không gian lớn, khám phá nó một cách ngẫu nhiên là một cách làm”, ông Terence Tao, nhà toán học tại Đại học California, Los Angeles giải thích.

Trong các bài báo xuất bản những năm 1960 - 1970, Furstenberg đã sử dụng ý tưởng ergodic để chỉ ra rằng: thậm chí các tập hợp ngẫu nhiên nhất của vô hạn số nguyên đều ẩn chứa trong mình những cấu trúc - Alex Lubotzky, nhà toán học tại Đại học Do Thái, và là một trong những sinh viên của Furstenberg, giải thích.

“Ngay cả khi ở trong hỗn độn, nếu nhìn kỹ, bạn sẽ tìm thấy trật tự trong đó. Nó giống như những ngôi sao trên bầu trời - trông chúng hoàn toàn ngẫu nhiên, nhưng người Hy Lạp cổ đại có thể nhận ra các chòm sao”, ông nói.

Những ý tưởng của Furstenberg tác động lên các lĩnh vực dường như khác xa với lý thuyết ergodic, bao gồm cả hình học và đại số. Dựa trên một phần công trình nghiên cứu của Furstenberg, ông Tao và người đồng nghiệp Ben Green - nhà toán học tại Đại học Oxford, Anh - đã công bố một bước đột phá trong lý thuyết số vào năm 2004.

Họ chỉ ra rằng tập hợp các số nguyên tố chứa các cấp số cộng - các dãy chứa các khoảng không đổi - chẳng hạn như khoảng không đổi (hằng số sai khác) của 3, 5 và 7 là 2. Đây là một trong những mô hình nổi bật nhất từng được phát hiện trong sự sắp xếp các số nguyên tố dường như ngẫu nhiên trên tập hợp số nguyên.

Đón thử thách từ sớm

Cả Furstenberg và Margulis đều chịu đựng sự phân biệt đối xử vì họ có gốc Do Thái. Furstenberg sinh năm 1935 tại Berlin, gia đình ông đã thoát khỏi cuộc khủng bố của Đức Quốc xã khi ông tròn 4 tuổi. Ông định cư tại thành phố New York, sau đó chuyển đến Israel và giảng dạy tại Đại học Do Thái ở Jerusalem từ năm 1965 cho đến khi nghỉ hưu năm 2003.

Margulis sinh ở Moscow năm 1946 và là nạn nhân của chủ nghĩa bài Do Thái trong hệ thống Xô Viết. Điều này đã ngăn ông ra nước ngoài năm 1978 để nhận Huy chương Fields - một giải thưởng danh giá khác trong toán học. Sau đó, ông di cư sang Hoa Kỳ và làm việc tại Đại học Yale ở New Haven, Connecticut.

Nhà toán học Hillel Furstenberg giảng dạy tại Đại học Hebrew ở Jerusalem. (Ảnh: Yosef Adest).

Margulis đạt được những thành tựu vẻ vang nhất của mình ngay từ khi còn trẻ và danh tiếng của ông “hữu xạ” tự nhiên đến các nhà nghiên cứu ngoài Liên Xô - trước khi họ có cơ hội gặp mặt ông. “Ông ấy là một huyền thoại”. nhà toán học Isarel Lubotzky nhớ lại.

Margulis giành Huy chương Fields ở tuổi 32 nhờ vào công trình lý thuyết về tính đối xứng. Nó bao gồm các phép biến đổi liên tục trong hình học, chẳng hạn như các chuyển động cứng của một mặt phẳng hoặc các phép quay của một hình cầu.

Nhà toán học giới thiệu Margulis trong buổi lễ trao Huy chương Fields nói: “Nhiều lần, ông làm các chuyên gia sửng sốt khi giải quyết những câu hỏi dường như hoàn toàn ngoài tầm với ở thời điểm đó. Một số kết quả nghiên cứu của ông đặt nền tảng cho công trình của ít nhất ba người chiến thắng Huy chương Fields kế tiếp”, theo Viện Hàn lâm Na Uy.

Nhà toán học Gregory A. Margulis. (Ảnh: Dan Renzetti).

“Giải thưởng năm nay kết nối với nhiều người đoạt giải trước đó. Thật tuyệt vời khi chứng kiến những nhà nghiên cứu vượt qua các ranh giới”, Hans Munthe-Kaas, nhà toán học tại Đại học Bergen Na Uy, chủ tịch ủy ban giải thưởng Abel, phát biểu.

Cụ thể, Yakov Sinai - người thắng giải năm 2014 đã phát triển các phương pháp ergodic trong lý thuyết hỗn độn (và ông là cố vấn tiến sĩ của Margulis), và một phần công trình của Endre Szemerédi - người đoạt giải năm 2012 - liên kết lý thuyết ergodic với lý thuyết số nguyên.