Nghịch lý Banach-Tarski là một kết quả quan trọng trong lĩnh vực lý thuyết tập hợp và hình học, được phát biểu lần đầu bởi hai nhà toán học người Ba Lan Stefan Banach và Alfred Tarski vào năm 1924.
Năm 1924, nhà toán học Ba Lan Stefan Banach (1892-1945) và Alfred Tarski (1901-1983) đã phát hiện ra một sự thật toán học đáng ngạc nhiên. Tức là "chia một quả bóng thành một số phần giới hạn và kết hợp lại các phần này để tạo thành hai quả bóng có cùng kích thước với quả bóng ban đầu". Nói cách khác, nếu bạn chia và đập một quả bóng rồi kết hợp nó lại, bạn có thể có được hai quả bóng giống hệt nhau! Ở đây, mặc dù các biến dạng như kéo dài và rút ngắn bị cấm đối với các bộ phận được phân chia nhưng chúng có thể được dịch chuyển và xoay khi lắp ráp lại.
Nghịch lý Banach-Tarski được Banach và Tarski xuất bản lần đầu tiên vào năm 1924. Công trình của họ dựa trên những khám phá trước đó của nhà toán học người Áo Felix Hausdorff, người đã chứng minh sự phân rã nghịch lý tương tự đối với một số tập hợp con nhất định của không gian Euclide. Banach và Tarski đã mở rộng công trình của Hausdorff để chứng minh kết quả đáng kinh ngạc của họ đối với hình cầu 3 chiều. Nghịch lý Banach–Tarski là một định lý trong hình học lý thuyết tập hợp, phát biểu như sau: "Cho một quả bóng đặc trong không gian ba chiều, tồn tại sự phân tách quả bóng thành một số hữu hạn các tập con rời rạc, sau đó có thể đặt lại với nhau theo một cách khác để tạo ra hai bản sao giống hệt nhau của quả bóng ban đầu".
Hầu hết mọi người sẽ nghĩ: "Làm sao chuyện như vậy lại có thể xảy ra được?". Trên thực tế, chính vì phát hiện này quá khó hiểu nên ban đầu nó được gọi là một nghịch lý. Nhưng ngày nay tính đúng đắn của nó đã được chứng minh về mặt toán học nên nó được gọi là "định lý Banach-Tarski".
Nhưng định lý này không có nghĩa là nếu bạn tách một quả bóng tennis ở nhà thành từng mảnh nhỏ thì bạn có thể khéo léo ghép lại thành hai quả bóng tennis. Việc "phân đoạn" được đề cập trong định lý này là một phương pháp đặc biệt và không áp dụng được trong thế giới thực. Giáo sư Shinya Koyama của Đại học Toyo ở Nhật Bản, người thực hiện nghiên cứu về lý thuyết số nguyên và các lĩnh vực khác, cho biết: “Mặc dù định lý này sử dụng từ "phần bị chia" nhưng trên thực tế, nó được coi là vô hạn như những đám mây mỏng hay sương mù, dấu chấm sẽ phù hợp hơn”.
Nghịch lý Banach-Tarski là hệ quả của Tiên đề lựa chọn, một nguyên tắc quan trọng và gây tranh cãi trong lý thuyết tập hợp. Mặc dù Tiên đề Lựa chọn có nhiều ứng dụng hữu ích trong toán học nhưng nó cũng dẫn đến một số kết quả khó hiểu, chẳng hạn như Nghịch lý Banach-Tarski.
Vậy tại sao lúc đó hai nhà khoa học này lại nghĩ ra nghịch lý như vậy? Bối cảnh là đã có một cuộc tranh luận trong cộng đồng toán học vào thời điểm đó về việc liệu “Tiên đề lựa chọn” có đúng hay không. Đây là một chủ đề toán học rất khó nên chúng ta hãy phác thảo ngắn gọn nó ở đây.
Tiên đề lựa chọn là một trong những tiên đề trong “lý thuyết tập hợp” và được nhà toán học người Đức Ernst Zermelo (1871-1953) xuất bản năm 1904. Lý thuyết tập hợp đề cập đến trường sử dụng số, công thức, ký hiệu, v.v. để kiểm tra các thuộc tính của "tập hợp" chứa các phần tử khác nhau.
Nội dung của tiên đề lựa chọn là “khi một tập hợp gồm nhiều tập con (một tập hợp chỉ gồm một phần các phần tử của tập hợp đó) thì từ mỗi tập hợp con có thể chọn ra một phần tử để tạo thành một tập hợp mới”. Nhiều người sẽ coi điều này là đương nhiên. Georg Cantor, nhà toán học người Đức, người đã xây dựng nền tảng của lý thuyết tập hợp, cũng tin rằng tiên đề lựa chọn là một điều đã cho. Trong thực tế, khi số lượng tập hợp con bị giới hạn thì việc chọn các phần tử từ mỗi tập hợp con là không có vấn đề gì.
Một dạng khác của định lý phát biểu rằng với hai vật rắn "hợp lý" bất kỳ (chẳng hạn như một quả bóng nhỏ và một quả bóng lớn), các mảnh cắt của một vật có thể được ghép lại thành vật kia. Điều này thường được phát biểu một cách không chính thức là “một hạt đậu có thể được cắt nhỏ và lắp ráp lại thành Mặt trời” và được gọi là “nghịch lý hạt đậu và Mặt trời”.
Tuy nhiên, nếu số lượng tập hợp con là vô hạn thì thao tác chọn phần tử cũng đòi hỏi số lần vô hạn. Do đó, thao tác lựa chọn phần tử không thể hoàn thành và không rõ liệu một tập hợp mới có thể được hình thành hay không. Kết quả là cuộc tranh luận về việc liệu tiên đề lựa chọn có đúng hay không đã tiếp tục kéo dài trong nhiều năm.
Trong bối cảnh này, nếu sử dụng tiên đề lựa chọn, có thể rút ra kết quả dẫn đến nghịch lý Banach-Tarski. Khi phân đoạn quả bóng (chọn một phần các điểm tạo nên quả bóng để tạo thành một tập hợp mới), bạn cần sử dụng tiên đề chọn lọc.
Sau đó, cuộc tranh luận về tiên đề lựa chọn tiếp tục nóng lên và cuối cùng kết thúc vào năm 1938. Nhà toán học gốc Séc Kurt Gödel (1906-1978), nổi tiếng với “Định lý không đầy đủ”, đã chứng minh rằng “ngay cả khi tiên đề lựa chọn là đúng thì nó cũng sẽ không dẫn đến những mâu thuẫn mới trong lý thuyết tập hợp”. Dựa trên điều này, "Nghịch lý Banach-Tarski" cuối cùng đã chính thức trở thành "Định lý Banach-Tarski".