Toán học không chỉ đến từ trải nghiệm hàng ngày mà còn là những trò chơi của tư duy logic (Phần 1)

Toán học, nền tảng tiên phong cho hầu hết công nghệ hiện đại ngày nay là một ngành khoa học lớn với hơn 60 nhánh khác nhau. Trong xu thế cách mạng công nghiệp 4.0, môn toán ngày càng quan trọng, làm cách nào để nhanh chóng nắm bắt khối lượng kiến thức toán ngày càng đồ sộ này? Theo một cựu giáo sư nổi tiếng của đại học Stanford, ngoài cách học truyền thống đi từ thực tiễn đến các quy tắc, bộ não con người cũng có thể khám phá ý nghĩa của trò chơi toán học từ các tiên đề cho trước.

Loạt bài lược dịch từ một bài viết của tác giả Keith Devlin trên website Hiệp hội toán Mỹ (MAA) số tháng 1/2009. Tác giả Keith Devlin là cựu giáo sư toán đại học Stanford, giám đốc dự án tư vấn học toán Stanford Mathematics Outreach Project của trường sư phạm Stanford, tác giả của hơn 30 đầu sách và 80 nghiên cứu về toán.

Phần 1: Hai hướng tư duy trong học toán

"Thượng Đế tạo nên các số nguyên, tất cả những thứ khác là việc của con người" là câu nói nổi tiếng của nhà toán học Đức Leopold Kronecker (1823-1891) mà tôi (tác giả Keith Devlin) dùng để vào đề cho bài viết tháng trước của tôi trong mục Devlin-Devlin's Angle hàng tháng của website Hiệp hội toán Mỹ. Kết bài là một số câu hỏi về cách chúng ta dạy toán cho học sinh mới học toán. Tôi đã hứa hẹn sẽ viết về một lựa chọn thay thế cho giải pháp dạy toán đang phổ biến ở Mỹ. Tôi sẽ bắt đầu bài viết tháng này từ những câu hỏi đó.

Học toán giống như học chơi các trò chơi mà mỗi trò chơi đều tuân theo một số quy tắc logic cụ thể.

Để tránh lặp lại, tôi giả định là các bạn đã đọc những gì tôi viết tháng trước. Tóm lược ý chính của bài trước, tôi đưa ra bằng chứng củng cố cho luận văn tiến sĩ của tôi. Theo đó, trong khi các con số và có thể cả những yếu tố khác trong môn toán lớp 8 cơ bản (ở Mỹ) được khái quát hóa từ trải nghiệm hàng ngày, những phần cao cấp hơn của môn học lại được thiết kế và học theo các quy tắc đã xác định, và thường là "những trò chơi ký hiệu" vô nghĩa lúc ban đầu.

Bạn có thể học cái trước (sự khái quát hóa trải nghiệm hàng ngày) từ sự hình thành chuỗi ẩn dụ nhận thức dựa-trên-thực-tiễn, trong đó mỗi giai đoạn đem lại một hiểu biết mới từ những gì đã quen thuộc.

Các kiến thức toán mới đều được suy ra từ các quy tắc-tiên đề cho sẵn. (Ảnh minh họa).

Học theo cách sau (các quy tắc đã xác định) sẽ giống với cách chơi cờ: ban đầu bạn chỉ việc làm theo các quy tắc mà bạn gần như không hiểu, và rồi, khi luyện tập, bạn sẽ đạt tới cấp độ mà ý nghĩa và sự hiểu biết trỗi dậy.

(Cách thứ hai là học toán giống như học chơi các trò chơi mà mỗi trò chơi đều tuân theo một số quy tắc logic cụ thể. Các kiến thức toán mới đều được suy ra từ các quy tắc-tiên đề cho sẵn này)

Học toán từ trải nghiệm thực tế lẫn các quy tắc trừu tượng

Quá trình đầu tiên đã được Lakoff và Nunez miêu tả trong cuốn Where Mathematics Comes From (Nơi toán học bắt đầu). Where Mathematics Comes From là một quyển sách nghiên cứu khoa học nhận thức về toán của nhà ngôn ngữ học nhận thức George Lakoff và nhà tâm lý học Rafael E. Núñez được xuất bản năm 2000.

Hầu hết chúng ta có thể nhớ cách thứ hai như là cách học tích phân. Dường như cách thứ hai là một quan sát ngược lại với tuyên bố của Lakoff và Nunez khi họ cho rằng, quá trình xây dựng ẩn dụ mà họ miêu tả sẽ gặt hái được toàn bộ toán học thuần túy (pure mathematics, lĩnh vực nghiên cứu toán vì sự phát triển nội tại của toán so với toán ứng dụng là nghiên cứu toán để ứng dụng vào các ngành khác như vật lý, kinh tế...).

Nếu trong thực tế có hai loại tư duy toán học khác biệt về cơ bản kiểu này, bạn phải được học chúng theo những cách rất khác nhau. Nếu vậy thì, một câu hỏi tự nhiên đặt ra là, trong giáo trình đại học truyền thống, cách này sẽ kết thúc ở đâu và cách kia bắt đầu ở đâu? Và đừng nhầm lẫn về nó, hai hình thức học mà tôi đang bàn tới là rất khác nhau. Loại đầu tiên là ý nghĩa làm xuất hiện các quy tắc, còn loại thứ hai là quy tắc cuối cùng sẽ đem lại ý nghĩa. Quá trình học sẽ thay đổi từ sự khái quát hóa sang sự sáng tạo ngôn ngữ ở một nơi nào đó giữa việc chiếm lĩnh khái niệm số (nguyên) và tích phân.

Xin lưu ý là, cả hai hình thức học đều có thể tạo ra toán học có ý nghĩa trong thế giới và có thể ứng dụng vào thế giới. Sự khác nhau nằm ở chỗ, loại đầu tiên là sự liên hệ thực tế đi trước kiến thức mới về toán học, còn loại thứ hai là kiến thức toán phải "nảy sinh trong nhận thức" (cognitively bootstrappeds) trước khi chúng ta có thể hiểu được các liên hệ giữa kiến thức mới với thực tế và làm ra các ứng dụng.

Hai hình thức tư duy khác nhau trong toán học: từ thực tế (Reality) rút ra các quy tắc toán trừu tượng (Maths) và chơi trò chơi với các quy tắc rồi quay lại thực tế. (Ảnh: QCAA).

Trước khi đi xa hơn, tôi phải chỉ ra rằng, vì ở đây tôi đang bàn về nhận thức con người nên nói một cách chính xác thì, sự phân loại đơn giản của tôi theo hai nhóm là một sự phân loại đơn giản, tiện lợi làm cơ sở cho những luận điểm tổng quát mà tôi muốn truyền tải. Như thường lệ, khi con người được kết nối thì thế giới không chỉ có hai màu trắng-và-đen mà là một quang phổ liên tục có nhiều sắc thái ở giữa hai cực. Nếu hộp thư điện tử hàng tháng của tôi được giống người mang tên các nhà toán học ghé qua, dường như họ sẽ có xu hướng cố gắng xem xét mọi thứ theo hai cách khác nhau.

Đặc biệt, việc một sinh viên được hướng dẫn học toàn bộ toán học theo cách ẩn-dụ-được-lặp-lại (iterated-metaphor) mà Lakoff và Nunez đã miêu tả là điều có thể về nguyên tắc. Tuy nhiên, trong thực tế, đây là cách quá dài để đạt tới hầu hết toán học đương đại. Cách khả thi để học toán cao cấp tương đối nhanh là bộ não có khả năng học để làm theo một tập hợp các quy tắc cho sẵn mà không cần hiểu chúng, và áp dụng chúng một cách hữu ích và thông minh. Miễn là bạn thực hành đủ, cuối cùng bộ não sẽ khám phá (tạo ra) ý nghĩa trong những gì đã bắt đầu như một trò chơi vô nghĩa, nhưng để áp dụng các quy tắc một cách hiệu quả thì nói chung không cần phải đạt tới giai đoạn đó.

Một ví dụ dễ thấy là, hàng năm các sinh viên đại học năm nhất ngành kỹ sư và vật lý đều học và áp dụng các phương pháp cao cấp về phương trình vi phân mà không hiểu chúng-một chiến thắng mà các sinh viên chuyên ngành toán (nơi mà sự thấu hiểu là mục tiêu được xác định rất rõ) phải vật lộn đến bốn năm để đạt được.

Trẻ em có thể chơi tốt trò chơi toán học?

Giờ đây, quay lại với cấp bậc đại học, nơi mà cách nhanh chóng đạt được năng lực vận dụng (procedural competence, sự vận dụng thành thạo các quy tắc) - cách thứ hai sẽ hiệu quả với các sinh viên cần sử dụng những kỹ thuật toán học khác nhau, cách nào là tốt nhất để bắt đầu môn toán cho học sinh ở những cấp lớp đầu tiên? Với điều kiện cho trước là các trẻ nhỏ có khả năng học chơi trò chơi, thường là các trò chơi mạo hiểm phức tạp, và chúng thể hiện kỹ năng cao trong videogame, tôi đoán là, chúng cũng có thể học toán sơ cấp theo cách chơi trò chơi. Nhiều video game phức tạp đến mức khiến hầu hết người lớn đều phải rất cố gắng. Nếu bạn không tin tôi, hãy tiến lên và thử chơi một trò (tôi đã chơi và rất khó để thành thạo chúng).

Nhưng tôi không biết là phương pháp này đã từng được thử bao giờ chưa, và nó có được việc không thì tôi không rõ. Thật ra thì, tôi ngờ rằng không. Một điều mà chúng ta muốn con em mình học được là cách áp dụng toán học vào thế giới hàng ngày, và điều đó tùy thuộc vào việc đặt nền tảng cho môn học ở đâu trong thực tế đó. Một sinh viên đã học cách dùng các phương trình vi phân theo kiểu dựa-trên-quy-tắc sẽ tiếp cận công việc với một cái đầu chín chắn hơn và nhiều kiến thức, kinh nghiệm trước đó về việc áp dụng toán hơn. Nói cách khác, tính hiệu quả của phương pháp nhanh chóng, dựa-trên-quy-tắc đối với năng lực vận dụng quy tắc của trẻ ở tuổi lớn hơn và người trưởng thành có thể phụ thuộc vào nền tảng ban đầu, khi học sinh bắt đầu trừu tượng hóa những khái niệm cơ bản về con số và số học từ kinh nghiệm hàng ngày của cô ấy/anh ấy.

Sau cùng, như chúng ta đã biết cho tới nay, kinh nghiệm hàng ngày là cách mà tổ tiên chúng ta lần đầu tiên khởi hành con đường toán học cách đây nhiều ngàn năm.

Trong lời khẳng định của tôi ở trên, tôi viết "như chúng ta đã biết cho tới nay" bởi vì, dĩ nhiên là tất cả những gì chúng ta đã biết đều căn cứ vào các bằng chứng khảo cổ của các cổ vật mà tổ tiên để lại. Chúng ta không biết họ thật sự suy nghĩ như thế nào về thế giới.

(còn tiếp)...

• Liệu chúng ta có thể trở thành nhà toán học bằng con đường tự học? (Phần 3)
• Liệu chúng ta có thể trở thành nhà toán học bằng con đường tự học? (Phần 2)
• Liệu chúng ta có thể trở thành nhà toán học bằng con đường tự học? (Phần 1)